Question

11．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2BC=4$\sqrt{3}$，AB=2，∠BAC=60°，则其外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形确定PC的中点O为球心，求出球的半径，利用球的表面积公式，即可求得结论．

解答 解：如图所示，
∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴PA⊥BC；
又AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∴$\frac{2}{sin∠ACB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$，
∴sin∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；
又PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB；
又∵PB?面PAB，
∴BC⊥PB；
取PC的中点O，则OP=OA=OB=OC，∴O为球心
∵PA=4$\sqrt{3}$，AC=2AB=4，
∴PC=$\sqrt{{（4\sqrt{3}）}^{2}{+4}^{2}}$=8；
∴球半径为r=$\frac{1}{2}$PC=4；
∴该三棱锥的外接球的表面积为4πr²=4π•4²=64π．
故选：D．

点评 本题考查了球的表面积计算问题，解题的关键是确定球心与半径，属于基础题．