Question

11．设F₁，F₂分别为椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：$\frac{x^2}{a_1^2}$-$\frac{y^2}{b_1^2}$=1（a₁＞0，b₁＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若椭圆的离心率e=$\frac{3}{4}$，则双曲线C₂的离心率e₁为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．

解答 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|MF₁|-|MF₂|=2a₁，
所以|MF₁|=a+a₁，|MF₂|=a-a₁．
因为∠F₁MF₂=90°，
所以${|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}=4{c^2}$，即${a^2}+a_1^2=2{c^2}$，即${（{\frac{1}{e}}）^2}+{（{\frac{1}{e_1}}）^2}=2$，
因为$e=\frac{3}{4}$，
所以${e_1}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．