Question

3．已知平面向量$\vec a$，$\vec b$夹角为$\frac{π}{3}$，|$\vec a$-$\vec b}$|=|${\vec b}$|=3，则|m$\vec a$+$\frac{1-m}{2}$$\vec b}$|（m∈R）的最小值$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出然后利用向量的数量积求解向量的模的最小值．

解答 解：平面向量$\vec a$，$\vec b$夹角为$\frac{π}{3}$，|$\vec a$-$\vec b}$|=|${\vec b}$|=3，可得$|\overrightarrow{a}|$=3．
则|m$\vec a$+$\frac{1-m}{2}$$\vec b}$|=$\sqrt{{m}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+2m\frac{1-m}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（\frac{1-m}{2}）^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{9{m}^{2}+\frac{9}{2}m（1-m）+\frac{9}{4}（1-m）^{2}}$
=$3\sqrt{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}}$≥$\frac{3}{2}$．
当m=0时，表达式取得最小值：$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．