题目内容
1．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{4}$，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2$\sqrt{15}$．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设圆T：（x-2）2+y2=$\frac{4}{9}$，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．
分析 （1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长，得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由直线y=kx+1与圆T相切可知$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，即32k2+36k+5=0，由根与系数关系得到k1+k2=-$\frac{9}{8}$，k1k2=$\frac{5}{32}$，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，利用斜率公式得到kEF．
解答 解：（Ⅰ）由题意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，可知a=4b，c=$\sqrt{15}$b，
∵△PF1F2的周长是8+2$\sqrt{15}$，∴2a+2c=8+2$\sqrt{15}$，
∴a=4，b=1，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+y2=1 …（4分）
（Ⅱ）椭圆的上顶点为M（0，1），由题知过点M与圆T相切的直线有斜率，
则设其方程为l：y=kx+1，由直线y=kx+1与圆T相切可知$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
即32k2+36k+5=0，∴k1+k2=-$\frac{9}{8}$，k1k2=$\frac{5}{32}$，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+16k12）x2+32k1x=0，
∴xE=-$\frac{32{k}_{1}}{1+16{{k}_{1}}^{2}}$．
同理xF=-$\frac{32{k}_{2}}{1+16{{k}_{2}}^{2}}$ …（9分）
kEF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{{k}_{1}{x}_{E}-{k}_{2}{x}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{1-16{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{3}{4}$
故直线EF的斜率为$\frac{3}{4}$．…（12分）
点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，直线与圆相切的条件，是中档题．
如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=$\frac{π}{4}$，BC=3| A． | $\frac{9}{2}$ | B． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{5}{4}$ |