Question

2．过点P（-2，1）引抛物线y²=4x的两条切线，切点分别为A，B，F是抛物线y²=4x的焦点，则直线PF与直线AB的斜率之和为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 先确定F点坐标，进而求出直线PF斜率k_PF，再求出两个切点AB的坐标，求出直线AB斜率k_AB，相加可得答案．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点F坐标为（1，0），点P（-2，1），
故直线PF斜率k_PF=-$\frac{1}{3}$，
设点P（-2，1）与抛物线y²=4x相切的直线为：x+2=m（y-1），
则y²=4（my-m-2），即y²-4my+4m+8=0的△=16m²-16m-32=0，
解得：m=-1，或m=2，
当m=-1时，方程y²-4my+4m+8=0可化为y²+4y+4=0，解得：y=-2，代入y²=4x得：x=1，
当m=2时，方程y²-4my+4m+8=0可化为y²-8y+16=0，解得：y=4，代入y²=4x得：x=4，
即A，B两点的坐标为A（1，-2），B（4，4），所以k_AB=$\frac{4+2}{4-1}$=2，
从而${k_{PF}}+{k_{AB}}=\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线的斜率，难度不大，属于基础题．