Question

6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+x²-3x．
（1）求函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），证明：$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）运用两点的斜率公式可得k的关系式，运用分析法证明，即证$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}（{t＞1}）$，只需证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1，令K（t）=lnt-t+1（t＞1），再令h（t）=lnt-1+$\frac{1}{t}$，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证．

解答 解：（1）g（x）=lnx+x²-3x，
可得导数$g'（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
在点（1，g（1））处的切线斜率为g′（1）=0，g（1）=-2，
可得切线方程为y=-2；
（2）由题意可得k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
要证原不等式成立只需证$\frac{1}{x_2}＜\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$，
由x₂＞x₁，即证$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，
令$t=\frac{x_2}{x_1}（{t＞1}）$，只需证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1，
令K（t）=lnt-t+1（t＞1），$K'（t）=\frac{1}{t}-1＜0$
可得K（t）在（1，+∞）上单调递减，K（t）＜K（1）=0成立，
即为lnt＜t-1；
令$h（t）=lnt+\frac{1}{t}-1（{t＞1}），h'（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}＞0$，
可得h（t）在（1，+∞）上单调递增，即有h（t）＞h（1）=0成立，
即有1-$\frac{1}{t}$＜lnt．
综上所述：$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性的判断，考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数法，运用单调性，考查运算能力，属于中档题．