Question

求证：x＞1时，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：把要证的不等式转化为证lnx＞

2(x-1)

x+1

，够造函数g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，然后利用导数即可证得答案．

解答： 证明：当x＞1时，要证

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即证

1

lnx

＜

1

2

+

1

x-1

=

x+1

2(x-1)

，
也就是证：lnx＞

2(x-1)

x+1

．
构造函数g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
则g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2x+2

(x+1)2

=

x2+2x+1-4x

x(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0．
∴函数g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

为（1，+∞）上的增函数，
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

＞0．
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

．
即x＞1时，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．