Question

a、b是常数，关于x的一元二次方程x²+（a+b）x+3+

ab

2

=0有实数解记为事件A，
（1）若a∈{1，2，3，4}，b∈{2，3，4，5}，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）

Answer 1

考点：几何概型,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）先求出数对（a，b）的个数，再由方程有根，必有△≥0，由此关系计数得出符合的数对（a，b）的个数，再由古典概型公式求出概率．
（2）此题是一个几何概率模型，先求出区域D={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6}的面积，再求出程有实根对应区域为d={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6，a²+b²≥12}与区域D的公共部分的面积，再由几何概型概率公式求出概率．

解答： 解：（1）方程有实数解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依题意，a=1、2、3、4，b=1、2、3、4、5，
所以共有4×5=20种结果…（2分）
当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”时，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以满足a²+b²≥12的结果有20-（3+2+1）=14种…（6分），
从而P（A）=

14

20

=

7

10

…（7分）．
（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…（8分）
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=

6+6

2

=6

2

…（9分）
正方形的面积S=d²=72…（10分），
圆a²+b²=12的面积为S′=12π…（11分）
圆在正方形内部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

72-12π

72

=1-

π

6

．

点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解题意，得出（1）是一个古典概率模型问题，（2）中是一个几何概率模型，由相应的公式计算出概率．