Question

f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相邻两对称轴距离为

π

2

，求：
（1）f（

π

4

）；
（2）x∈[0，

π

2

]，f（x）单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x），进而可求f（

π

4

）
（Ⅱ）由（I）中函数的解析式，结合正弦函数的性质研究函数的最值及取得最值的条件

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx-cos2ωx-1=

2

sin（2ωx-

π

4

）-1．
因为

T

2

=

π

2

，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
所以f（

π

4

）=0（7分）
（Ⅱ）f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1
当x∈[0，

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，（9分）
∴令-

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

2

可解得0≤x≤

3π

8

，
所以x∈[0，

π

2

]时，f（x）单调增区间是[0，

3π

8

]．（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的单调性，属于基本知识的考查．