Question

已知函数f（x）=4acosx•sin（x-

π

3

）+

3

a+b，设x∈[0.

π

2

]，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：化简解析式可得f（x）=2asin（2x-

π

3

）+b，由x∈[0.

π

2

]，可得-

3

a+b≤f（x）≤2a+b，由已知可得：-

3

a+b=-2，2a+b=

3

，从而解得a，b的值．

解答： 解：∵f（x）=4acosx•sin（x-

π

3

）+

3

a+b
=4acosx[

1

2

sinx-

3

2

cosx]+

3

a+b
=asin2x-

3

acos2x+b
=2asin（2x-

π

3

）+b
∵x∈[0.

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，可得-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴-

3

a+b≤f（x）≤2a+b
∴由已知可得：-

3

a+b=-2，2a+b=

3

，从而解得：a=4

3

-7，b=14-7

3

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．