题目内容
已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？
（注：年利润=年销售收入-年总成本）
|
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？
（注：年利润=年销售收入-年总成本）
考点：分段函数的应用,函数模型的选择与应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）当0＜x≤10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-
-10，当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-
-2.7x，由此能求出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式；
（2）当0＜x≤10时，由W′=8.1-
=0，得x=9，推导出当x=9时，W取最大值，且wmax=38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大．
| x3 |
| 30 |
| 1000 |
| 3x |
（2）当0＜x≤10时，由W′=8.1-
| x2 |
| 10 |
解答：
解：（1）当0＜x≤10时，
W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-
-10，
当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-
-2.7x，
∴W=
；
（2）①当0＜x≤10时，
由W′=8.1-
=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，
当x∈（9，10）时，w′＜0．
∴当x=9时，W取最大值，且wmax=8.1×9-
×93-10=38.6．
②当x＞10时，W=98-（
+2.7x）＜98-2
=38，
当且仅当
=2.7x，即x=
时，Wmax=38．
综合①、②知x=9时，W取最大值．
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大．
W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-
| x3 |
| 30 |
当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-
| 1000 |
| 3x |
∴W=
|
（2）①当0＜x≤10时，
由W′=8.1-
| x2 |
| 10 |
当x∈（9，10）时，w′＜0．
∴当x=9时，W取最大值，且wmax=8.1×9-
| 1 |
| 30 |
②当x＞10时，W=98-（
| 1000 |
| 3x |
|
当且仅当
| 1000 |
| 3x |
| 100 |
| 9 |
综合①、②知x=9时，W取最大值．
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大．
点评：本题考查函数的解析式的求法，考查运用导数求年利润的最大值，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
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