Question

若方程x=ke^x有两个零点，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：分别讨论k的取值范围，结合导数研究函数的极值即可得到结论．

解答： 解：若k=0，则x=0，方程只有一个解，不满足条件，
若k＜0，则函数y=ke^x为减函数，
作出函数y=x和y=ke^x的图象可知，此时两个函数只有一个交点，不满足条件．
若k＞0，设f（x）=x-ke^x，
函数的导数为f′（x）=1-ke^x，
由1-ke^x=0，即e^x=

1

k

，
交点x=ln

1

k

，
则x=ln

1

k

为函数f（x）的极大值点，
要使方程x=ke^x有两个零点，
则只需要f（ln

1

k

）＞0，
即ln

1

k

-ke ln

1

k

=ln

1

k

-k•

1

k

=ln

1

k

-1＞0，
即

1

k

＞e，
则0＜k＜

1

e

，
故答案为：0＜k＜

1

e

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．