Question

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³，若方程f（x）-cos

π

2

x-a=0（a＜0）无解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2）
• B、（-∞，-2]
• C、（-∞，-1]
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．

解答： 解：由f（x）-cos

π

2

x-a=0得f（x）-cos

π

2

x=a，
设g（x）=f（x）-cos

π

2

x，
∵定义在R上的偶函数f（x），
∴g（x）也是偶函数，
当x∈[0，1]时，f（x）=x³，
∴g（x）=x³-cos

π

2

x，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）≤g（x）≤g（1），
即-1≤g（x）≤1，
∵偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），
∴f（1-x）=f（x+1）=f（x-1），
即f（x）满足f（x+2）=f（x），
即函数的周期是2，
则函数g（x）在R上的值域为[-1，1]，
若方程f（x）-cos

π

2

x-a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）-cos

π

2

x=a无解，
则a＜-1，
故选：D

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的单调性和周期性，以及求出函数的值域是解决本题的关键．