题目内容
已知函数y=lg（x+
），判断并证明函数的单调性．
| 1+x2 |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：计算题,证明题
分析：先由导数判断f（x）=x+
的单调性，再由复合函数的单调性确定y=lg（x+
）单调性即可．
| 1+x2 |
| 1+x2 |
解答：
解：函数y=lg（x+
）为增函数
令f（x）=x+
则f（x）′=
+1=
+1
因为x2+1＞x2⇒
＞|x|⇒|
|＜1⇒-1＜
＜1⇒0＜
+1＜2
即有f（x）′＞0，
所以f（x）=x+
是增函数，
∴由复合函数的单调性知y=lg（x+
）为增函数．
| 1+x2 |
令f（x）=x+
| 1+x2 |
则f（x）′=
| 2x | ||
2
|
| x | ||
|
因为x2+1＞x2⇒
| 1+x2 |
| x | ||
|
| x | ||
|
| x | ||
|
即有f（x）′＞0，
所以f（x）=x+
| 1+x2 |
∴由复合函数的单调性知y=lg（x+
| 1+x2 |
点评：本题主要考察复合函数单调性的判断与证明，属于基础题．
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