Question

由于连续遭受台风的袭击，我国沿海某地有一工厂厂房倒塌，只余下长14米的旧墙一面，现工厂准备利用这面旧墙重新建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：
（1）建1米新墙的费用为b元；
（2）修1米旧墙的费用为

b

4

元；
（3）拆去1米旧墙所得的材料建1米新墙的费用为

b

2

元，
试问利用旧墙多少米时建墙所用费用最省？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题

分析：先设利用旧墙x米为矩形的一边长，则矩形的另一边长为

126

x

米，由题意分0＜x＜14和x≥14两种情况，分别列出建墙所用费用的关系式，利用基本不等式和函数的单调性求出它们的最小值，再进行比较即可．

解答： 解：设利用旧墙x米为矩形的一边长，则矩形的另一边长为

126

x

米，
①当0＜x＜14时，建墙所用费用为：

y= b 4 x+ (14-x)b 2 +b(2x+ 2×126 x -14)=7b( x 4 + 36 x -1)(0＜x＜14)

，
因为

x 4 + 36 x ≥2 x 4 • 36 x =6

，当且仅当

x 4 = 36 x

取等号，
所以当x=12时，y有最小值35b元，
②当x≥14时，建墙所用费用为：

y= 7b 2 +b(2x+ 252 x -14)

因为函数

y=2x+ 252 x

在（0，3

14

）单调递减，在（3

14

，+∞）单调递增，
所以当x=14时，函数y取最小值是

y= 7b 2 +b(2×14+ 252 14 -14)

=35.5b元，
综上得，利用旧墙12米时建墙所用费用最省．

点评：本题考查了基本不等式在实际生活中求最值，注意自变量的范围和取等号的条件，属于中档题．