Question

11．如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A₁BCD₁的位置，使平面A₁BCD₁⊥平面BCE，如图2．

（I）求证：CE⊥平面A₁BCD₁；
（II）求异面直线BD₁与A₁E所成角的大小；
（III）求平面BCE与平面A₁ED₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CE⊥BC，CE⊥平面A₁BCD₁．
（Ⅱ）法一：连接A₁C．推导出A₁C⊥BD₁，CE⊥BD₁，从而BD₁⊥A₁E．由此能求出异面直线BD₁与A₁E所成的角．
法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD₁与A₁E所成的角．
（Ⅲ） 求出平面BCE的法向量和平面A₁D₁E的法向量，利用向量法能求出平面BCE与平面A₁ED₁所成的锐二面角的余弦值．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为平面A₁BCD₁⊥平面BCE，且平面A₁BCD₁∩平面BCE=BC，
四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，
所以CE⊥BC．
因为CE?平面BCE，
所以CE⊥平面A₁BCD₁．…（4分）
解：（Ⅱ）法一：连接A₁C．因为A₁BCD₁是正方形，所以A₁C⊥BD₁．
因为CE⊥平面A₁BCD₁，所以CE⊥BD₁．
因为A₁C∩CE=C，所以BD₁⊥平面A₁CE．
所以BD₁⊥A₁E．
所以异面直线BD₁与A₁E所成的角是90°．…（9分）
法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．
设CD=1，则CE=2．
则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1）．
所以${\overrightarrow{BD}_1}=（-1，0，1），\overrightarrow{{A_1}E}=（-1，2，-1）$．
因为$cos＜\overrightarrow{B{D_1}}，\overrightarrow{{A_1}E}＞=\frac{{\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow{{A_1}E}}}{{|{\overrightarrow{B{D_1}}}||{\overrightarrow{{A_1}E}}|}}=\frac{1+0-1}{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}=0$，
所以$\overrightarrow{B{D_1}}⊥\overrightarrow{{A_1}E}$．
所以异面直线BD₁与A₁E所成的角是90°．…（9分）
（Ⅲ） 因为CD₁⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量$\overrightarrow{C{D_1}}=（0，0，1）$．
设平面A₁D₁E的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
因为$\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=（1，0，0），\overrightarrow{{D_1}E}=（0，2，-1）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}E}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$．设y=1，则z=2．所以$\overrightarrow n=（0，1，2）$．
因为$cos＜\overrightarrow{C{D_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{C{D_1}}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{C{D_1}}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{0+0+2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
所以平面BCE与平面A₁ED₁所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．