Question

已知如图，直线l：x+y-5=0，圆C经过A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线l相切，圆心C在第一象限．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P为l上的动点，求∠APB的最大值，以及此时P点坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）由题知，设圆心C（2，b），b＞0，半径为r，利用圆C经过A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线l相切，建立方程组，求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）令圆C与直线l相切于P₀点，由平面几何知识可知∠APB＜∠AQB=∠AP₀B，所以P取切点P₀时，∠APB取得最大值，求出切点坐标，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题知，设圆心C（2，b），b＞0，半径为r，
则

r= (2-1)2+(b-0)2 r= |2+b-5| 1+1

，解得

b=1 r= 2

，
所以圆C的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=2； …（4分）
（Ⅱ）如图，令圆C与直线l相切于P₀点，由平面几何知识可知∠APB＜∠AQB=∠AP₀B，所以P取切点P₀时，∠APB取得最大值，…（6分）
由C（2，1），可得直线lCP0：y=x-1，由

y=x-1 x+y-5=0

解得P₀（3，2），
又△AP₀B为等腰直角三角形，则∠AP₀B=45°，
所以∠APB最大值为45°，此时P点坐标为（3，2）．…（8分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．