Question

在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB⊥AC，D，E分别是BC，A′B′的中点，AB=AC=2，AA′=4．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC′A′；
（Ⅱ）求二面角B′-AD-C′的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取AC的中点F，连结DF，A′F，由已知条件推导出四边形DFA‘E是平行四边形，由此能证明ED∥平面ACC’A′．
（Ⅱ）由题意推导出∠B′DC是二面角B′-AD-C′的平面角，由此能求出二面角B′-AD-C′的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AC的中点F，连结DF，A′F，
∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB⊥BC，D，E分别是BC，A′B′的中点，
∴DF∥AB，A‘F∥AB，∴DF∥A’E，
又∵DF=

1

2

AB，A‘E=

1

2

AB，∴DF=A’E，
∴四边形DFA‘E是平行四边形，
∴ED∥平面ACC’A′．
（Ⅱ）由题意，AD⊥BC，AD⊥CC′，BC∩CC′=C，
∴AD⊥平面BB′C‘C，
又∵B′D?平面BB′C’C，C′D?平面BB’C‘C，
∴AD⊥B’D，AD⊥C′D，
∴∠B′DC是二面角B′-AD-C′的平面角，
在△B′DC′中，B′D=3

2

，C′D=3

2

，B′C=2

2

，
∴cos∠B′DC′=

B′D2+C′D2+B′C2

2B′D•C′D

=

7

9

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．