Question

已知x，y满足x≥0，x²+（y-2）²=2，则w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

的最大值为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：首先将w的式子展开成3+

2xy

x2+y2

，要求w的最大值，即求

2xy

x2+y2

的最大值，运用不等式x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时取等号，结合条件x²+（y-2）²=2，求出x，y，从而得到最大值．

解答： 解：w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

可化为w=3+

2xy

x2+y2

，

要求w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

的最大值，
即求

2xy

x2+y2

的最大值，
∵x≥0，x²+（y-2）²=2，
∴x≥0，2-

2

≤y≤2+

2

，
若x=0，则y=2±

2

，w=3，
若x≥0，y=0，则不成立，
∴x＞0，y＞0．
∵x²+y²≥2xy，
∴

2xy

x2+y2

≤1，
当且仅当

x=y x2+(y-2)2=2

取等号，
即x=y=1时，w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

取最大值，且为4．
故选：A．

点评：本题主要考查基本不等式及变形的运用，应注意等号成立的条件，即取最值的条件，有时要检验．