Question

16．若直线l₁：y=x+a和直线l₂：y=x+b将圆（x-1）²+（y-2）²=8分成长度相等的四段弧，则a²+b²=18．

Answer 1

分析 根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l₁：y=x+a或l₂：y=x+b的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵直线l₁：y=x+a和直线l₂：y=x+b为平行线，
∴若直线l₁：y=x+a和直线l₂：y=x+b将圆（x-1）²+（y-2）²=8分成长度相等的四段弧，
则圆心为C（1，2），半径为$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
则圆心C到直线l₁：y=x+a或l₂：y=x+b的距离相等，且为2，
即d=$\frac{|1-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$=2，
即|a-1|=2$\sqrt{2}$，
则a=2$\sqrt{2}$+1或a=1-2$\sqrt{2}$，
即a=2$\sqrt{2}$+1，b=1-2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$+1，a=1-2$\sqrt{2}$，
则a²+b²=（2$\sqrt{2}$+1）²+（1-2$\sqrt{2}$）²=9+4$\sqrt{2}$+9-4$\sqrt{2}$=18，
故答案为：18

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．