Question

在一次自主招生选拔考核中，每个候选人都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某候选人能正确回答第一，二，三，四轮问题的概率分别为

5

6

，

4

5

，

3

4

，

1

3

，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（I）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔过程中回答问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设事件A_i（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P（A₁）=

5

6

，P（A₂）=

4

5

，P（A₃）=

3

4

，P（A₄）=

1

3

，设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则P（B）=P（A₁A₂

.

A3

），由此能求出结果．
（2）由已知得X=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）设事件A_i（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”．
由已知P（A₁）=

5

6

，P（A₂）=

4

5

，P（A₃）=

3

4

，P（A₄）=

1

3

，…（4分）
设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

．…（6分）
（2）由已知得X=1，2，3，4，
P（X=1）=

1

6

，
P（X=2）=

5

6

×(1-

4

5

)=

1

6

，
P（X=3）=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

，
P（X=4）=

5

6

×

4

5

×

3

4

=

1

2

，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	1 6	1 6	1 6	1 2

EX=1×

1

6

+2×

1

6

+3×

1

6

+4×

1

2

=3．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．