Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（2^x+1）-f（2^3-2x）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）问采用赋值法求出f（1）的值；
（2）根据函数的单调性将原不等式转化为一元一次不等式，解得即可
（3）问首先由f（2）=1分析出f（4）=2，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式．

解答： 解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵f（x-1）＜0=f（1），
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴x-1＜1
解得0＜x＜2，
故不等式的解集为（0，2）
（3）令x=4，y=2，则有f（2）=f（4）-f（2）；
∴f（4）=2f（2）=2，
∵f（2^x+1）-f（2^3-2x）＜2．
∴f（2^x+1÷2^3-2x）＜f（4）．
∴f（2^3x-2）＜f（4）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴2^3x-2＜2²，
∴3x-2＜2，
解得0＜x＜

4

3

故不等式的解集为：（0，

4

3

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数单调性的应用与解不等式组的能力，属于中档题