Question

12．已知x³+sin2x=m，y³+sin2y=-m，且$x，y∈（{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}）$，m∈R，则$tan（{x+y+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 构造奇函数f（x）=x³+sin2x，结合已知可得f（x）+f（y）=0，从而有x+y=0，则答案可求．

解答 解：由题意构造函数f（x）=x³+sin2x，
∵f（-x）=（-x）³+sin（-2x）=-x³-sin2x=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵x³+sin2x=m，y³+sin2y=-m，
∴f（x）+f（y）=0，则x+y=0．
∴$tan（{x+y+\frac{π}{3}}）$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查函数奇偶性的性质，构造函数是关键，属中档题．