Question

3．已知sin α=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，α，β均为锐角，求cos β 的值．

Answer 1

分析 由已知结合已知角的范围求得sin（α+β），cosα的值，再由cosβ=cos[（α+β）-α]，展开两角差的余弦得答案．

解答 解：∵α，β均为锐角，∴0＜α+β＜π．
又cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，∴$\frac{π}{2}＜α+β＜π$，且$sin（α+β）=\sqrt{1-（-\frac{11}{14}）^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
∵sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，∴$cosα=\sqrt{1-（\frac{4\sqrt{3}}{7}）^{2}}=\frac{1}{7}$．
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{11}{14}×\frac{1}{7}+\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题．