Question

18．如图，在多面体ABCD-EFG中，O是菱形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形ABGF，ADEF都是矩形．
（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面BDEG；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直线CG与AE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AF⊥AB，AF⊥AD，从而AF⊥平面ABCD，进而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能证明平面ACF⊥平面BDEG．
（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CG与AE所成角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四边形ABGF，ADEF都是矩形，
∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）
又AB∩AD=A，且AB、AD?平面ABCD，
∴AF⊥平面ABCD．（2分）
又BD?平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）
又∵AC，BD是菱形ABCD 的对角线，
∴BD⊥AC．（4分）
∵AF，AC?平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）
又∵BD?平面BDEG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）
解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，
平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系．（7分）
∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，
∴△BCD是等边三角形，OB=OD=1，$OC=OA=\sqrt{3}$．（8分）
∵AF=3，∴A，C，E，G的坐标分别为：
$A（0，-\sqrt{3}，0），C（0，\sqrt{3}，0），E（-1，0，3），G（1，0，3）$．（9分）
∴$\overrightarrow{CG}=（1，-\sqrt{3}，3），\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，3）$，（10分）
所以$cos＜\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{AE}＞=\frac{{\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{AE}}}{{|\overrightarrow{CG}||\overrightarrow{AE}|}}=\frac{-1-3+9}{{\sqrt{13}•\sqrt{13}}}=\frac{5}{13}$，（11分）
即直线CG与AE所成角的余弦值为$\frac{5}{13}$．（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．