Question

9．已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：
①函数f（x）的图象关于y轴对称；
②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③对于任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行；
其中，所有正确结论的序号为（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 分析：①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；
②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
③找出一个常数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根据切线的几何意义，先求导，在找到特殊点，问题得以解决．

解答 解：对于①，∵f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称，故①错；
对于②∵当x=2kπ时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；
对于③取M=1，当x₀=π时，|f（2π）|=2π≥1；故③正确；
对于④∵f′（x）=cosx-xsinx，
令f′（x）=cosx-xsinx=0，
即xtanx=1，
此时方程由无数个解，
∴使k=0的解有无数个，
故函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行，故④正确．
故选：D．

点评 本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．