Question

7．在边长为2的正方形铁板ABCD中．以点C为圆心，1为半径作的$\frac{1}{4}$个圆，如图所示，过圆弧上任意一点作圆弧的切线，可将铁板切为两个部分，求点A的所在部分的最大面积．

Answer 1

分析 通过建系且设P（cosα，sinα）（其中π＜α＜$\frac{3}{2}$π，），利用直线OP的斜率存在且为tanα进而可知直线MN的方程y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$，求出M（$\frac{1}{cosα}$，0）、N（0，$\frac{1}{sinα}$），进而利用三角形面积公式及基本不等式计算即得结论．

解答 解：建系如图，设P（cosα，sinα），其中π＜α＜$\frac{3}{2}$π，
则直线OP的斜率存在且为$\frac{sinα}{cosα}$=tanα，
从而直线MN的斜率为-$\frac{1}{tanα}$，直线MN的方程为：y-sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-cosα），
整理得：y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$，
令y=0可知x=$\frac{1}{cosα}$，令x=0可知y=$\frac{1}{sinα}$，即M（$\frac{1}{cosα}$，0）、N（0，$\frac{1}{sinα}$），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OP=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{si{n}^{2}α}}$
=$\frac{1}{2}•$$\sqrt{\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}+\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}+2}$
≥$\frac{1}{2}•$$\sqrt{2\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}+2}$
=1，
当且仅当$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$即α=$\frac{5}{4}$π时取等号，
∴点A的所在部分的最大面积为2•2-1=3．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合能力，涉及坐标的设法、基本不等式、三角函数等基本知识，注意解题方法的积累，属于中档题．