Question

8．已知点P（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过点A（-c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用点$P（{\frac{a}{2}，\;\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}）$在椭圆上，推出2a²=3b²，结合b²=a²-c²，求解椭圆C的离心率．
（2）设直线l的方程为y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c，推出椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，判断点A在椭圆C内，设直线l与椭圆C的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组，通过韦达定理求解k即可．

解答 解：（1）∵点$P（{\frac{a}{2}，\;\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}）$在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上
∴$\frac{a^2}{{4{a^2}}}+\frac{{2{a^2}}}{{4{b^2}}}=1$，
∴2a²=3b²…（1分）
∵b²=a²-c²
∴2a²=3a²-3c²
∴a²=3c²…（3分）
∴椭圆C的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（5分）
（2）显然，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c
…（6分）
由（1）知b²=3c²-c²=2c²，∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$
即2x²+3y²=6c²，显然点A在椭圆C内…（7分）
设直线l与椭圆C的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
椭圆C的方程与直线l的方程联立消去y得（3k²+2）x²+6k（k+1）cx+3（k+1）²c²-6c²=0…（8分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-6k（{k+1}）c}}{{3{k^2}+2}}$…（10分）
∵$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-c$，∴$-2c=\frac{{-6k（{k+1}）c}}{{3{k^2}+2}}$∴3k（k+1）=3k²+2
∴$k=\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆额综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．