Question

3．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2或-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$
• D． 2或-$\sqrt{3}$或-$\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 求出二次函数的对称轴为x=m，再分对称轴在区间[-2，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据当-2≤x≤1时y的最大值为4，求得m的值，综合可得结论．

解答 解：∵二次函数y=-（x-m）²+m²+1的对称轴为x=m，-2≤x≤1，
当m＜-2时，函数f（x）在[-2，1]上是减函数，
函数的最大值为f（-2）=-（2-m）²+1+m²=4，求得m=$\frac{7}{4}$，舍去；
当-2≤m≤1时，函数f（x）的最大值为f（m）=1+m²=4，
求得m=-$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$舍去）．
当m＞1时，函数f（x）在[-2，1]上是增函数，
函数的最大值为f（1）=-（1-m）²+1+m²=4，
求得m=2．
综上可得，m=2或-$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．