在直角坐标系中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$.在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的单位长度.且以原点为极点.x轴的正半轴为极轴)中.圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)若直l线与圆C相切.求实数a的值,(2)若点M的直角坐标为(1.1).求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；
（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．

分析（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．利用点到直线的距离公式，根据直l线与圆C相切的性质即可得出a．
（2）由直线l的方程为：3x-4y-a=0，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：直线m的斜率为-$\frac{4}{3}$．再利用点斜式可得直线m的方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程．

解答解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程：3x-4y-a=0．
圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为：x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．
∵直l线与圆C相切，∴$\frac{|6-0-a|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=2，化为：|a-6|=10，解得a=16或-4．
（2）∵直线l的方程为：3x-4y-a=0，∴斜率为$\frac{3}{4}$，∴直线m的斜率为-$\frac{4}{3}$．
∴直线m的点斜式为：y-1=-$\frac{4}{3}$（x-1），化为4x+3y-7=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程：4ρcosθ+3ρsinθ-7=0．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．