Question

10．①“?x∈R，x²-3x+3=0”的否定是真命题；
②“$-\frac{1}{2}＜x＜0$”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是真命题；
④曲线$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1（9＜k＜25）$有相同的焦点；
⑤过点（1，3）且与抛物线y²=4x相切的直线有且只有一条．
其中是真命题的有：①③④（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 判断原命题的真假，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；写出原命题的否命题，可判断③；求出丙条曲线的焦点坐标，可判断④；判断抛物线的切线条数，可判断⑤．

解答 解：①“?x∈R，x²-3x+3=0”是假命题，故其否定是真命题，故①正确；
②“2x²-5x-3＜0”?“$-\frac{1}{2}＜x＜3$”，故“$-\frac{1}{2}＜x＜0$”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要条件，故②错误；
③“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是“若xy≠0，则x，y中全不为0”，是真命题，故③正确；
④曲线$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1（9＜k＜25）$有相同的焦点（±4，0）点，故④正确；
⑤过点（1，3）且与抛物线y²=4x相切的直线有两条，故⑤错误．
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题的否定，充要条件，四种命题，圆锥曲线等知识点，难度中档．