Question

10．已知双曲线C：x²-y²=1，直线y=kx-1交双曲线的左支于A、B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果|AB|=6$\sqrt{3}$，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）直线与双曲线方程联立，利用直线y=kx-1交双曲线的左支于A、B两点，可得$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（1-{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0\\{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$，即可求实数k的取值范围；
（2）如果|AB|=6$\sqrt{3}$，利用弦长公式，建立方程，即可求实数k的值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=1\\ y=kx-1\end{array}\right.⇒（1-{k^2}）{x^2}+2kx-2=0$…（2分）
∵直线y=kx-1交双曲线的左支于A、B两点
∴$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（1-{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0\\{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$…（2分）$⇒-\sqrt{2}＜k＜-1$…（5分）
（2）∵$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$…（6分）
∴$6\sqrt{3}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（\frac{2k}{{{k^2}-1}}）}^2}-4\frac{2}{{{k^2}-1}}}]}$…（7分）
∴28k⁴-55k²+25=0
∴${k^2}=\frac{5}{4}$或${k^2}=\frac{5}{7}$…（9分）
又∵$-\sqrt{2}＜k＜-1$
∴$k=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（10分）

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．