Question

15．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M（m，0）（m＞0）任作一条直线与曲线C交于A，B两点，点N（n，0），连接AN，BN，且m+n=0．求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意可得C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到x=-1的距离，得到x，y的方程，化简即可；
（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程为x=λy+m，代入曲线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两点的斜率公式计算k_AN+k_BN，化简整理即可得到所求值．

解答 解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，
由题意可得C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到x=-1的距离，
那么点P（x，y）满足：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=|{x+1}|$，
化简得y²=4x；
（2）证明：设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=λy+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y²-4λy-4m=0，△=16（λ²+m）＞0，
于是$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4λ}\\{{y_1}{y_2}=-4m}\end{array}}\right.$①，
∴k_AN+k_BN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=$\frac{2λ{y}_{1}{y}_{2}+（m-n）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$
=$\frac{-8λm+4λ（m-n）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$=$\frac{-4λ（m+n）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$，
∵m+n=0，∴k_AN+k_BN=0，即k_AN=-k_BN，
则∠ANM=∠BNM．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，主要是联立直线和抛物线方程，运用判别式大于0，韦达定理，考查两角相等的证明，注意运用直线的斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．