Question

17．对于无穷数列{a_n}，记T={x|x=a_j-a_i，i＜j}，若数列{a_n}满足：“存在t∈T，使得只要a_m-a_k=t（m，k∈N^*且m＞k），必有a_m+1-a_k+1=t”，则称数列{a_n}具有性质P（t）．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，n≤2}\\{2n-5，n≥3}\end{array}}\right.$判断数列{a_n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a_n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{a_n}是各项为正整数的数列，且{a_n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a_N，a_N+1，a_N+2，…，a_N+k，…是等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，n≤2}\\{2n-5，n≥3}\end{array}}\right.$可得a₂-a₁=2，但a₃-a₂=-1≠2，数列{a_n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a_n}具有性质P（4）．
（Ⅱ）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={-1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a_n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可．
（Ⅲ）依题意，数列{a_n}是各项为正整数的数列，且{a_n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得a_N，a_N+1，a_N+2，…，a_N+k，…是等差数列．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，n≤2}\\{2n-5，n≥3}\end{array}}\right.$，a₂-a₁=2，但a₃-a₂=-1≠2，数列{a_n}不具有性质P（2）；
同理可得，数列{a_n}具有性质P（4）．
（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={-1，0，1}是有限集，但是由于a₂-a₁=0，a₃-a₂=1，
所以不具有性质P（0）；
（必要性）因为数列{a_n}具有性质P（0），
所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a_m-a_k=0，即a_m=a_k
由性质P（0）的含义可得a_m+1=a_k+1，a_m+2=a_k+2，…，a_2m-k-1=a_m-1，a_2m-k=a_m，…
所以数列{a_n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a_k，a_k+1，…，a_m-1为一个周期中的各项，
所以数列{a_n}中最多有m-1个不同的项，
所以T最多有$C_{m-1}^2$个元素，即T是有限集．
（Ⅲ）因为数列{a_n}具有性质P（2），数列{a_n}具有性质P（5），
所以存在M′、N′，使得a_M'+p-a_M'=2，a_N'+q-a_N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质P（2），P（5）的含义可得，a_M'+p+k-a_M'+k=2，a_N'+q+k-a_N'+k=5，
若M'＜N'，则取k=N'-M'，可得a_N'+p-a_N'=2；
若M'＞N'，则取k=M'-N'，可得a_M'+q-a_M'=5．
记M=max{M'，N'}，则对于a_M，有a_M+p-a_M=2，a_M+q-a_M=5，显然p≠q，
由性质P（2），P（5）的含义可得，a_M+p+k-a_M+k=2，a_N+q+k-a_N+k=5，
所以a_M+qp-a_M=（a_M+qp-a_M+（q-1）p）+（a_M+（q-1）p-a_M+（q-2）p）+…+（a_M+p-a_M）=2qa_M+qp-a_M=（a_M+pq-a_M+（p-1）q）+（a_M+（p-1）q-a_M+（p-2）q）+…+（a_M+q-a_M）=5p
所以a_M+qp=a_M+2q=a_M+5p．
所以2q=5p，
又p，q是满足a_M+p-a_M=2，a_M+q-a_M=5的最小的正整数，
所以q=5，p=2，a_M+2-a_M=2，a_M+5-a_M=5，
所以，a_M+2+k-a_M+k=2，a_M+5+k-a_M+k=5，
所以，a_M+2k=a_M+2（k-1）+2=…=a_M+2k，a_M+5k=a_M+5（k-1）+5=…=a_M+5k，
取N=M+5，则，
所以，若k是偶数，则a_N+k=a_N+k；
若k是奇数，则a_N+k=a_{N+5+（k-5）}=a_N+5+（k-5）=a_N+5+（k-5）=a_N+k，
所以，a_N+k=a_N+k
所以a_N，a_N+1，a_N+2，…，a_N+k，…是公差为1的等差数列．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．