已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.右焦点为F.上顶点为A.且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$．(1)求椭圆C的方程,(2)若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上.且M在第一象限.过M作此圆的切线交椭圆于P.Q两点．试问△PFQ的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．

分析（1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点），列出方程组，求出a=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，从而求出△PFQ的周长为定值2$\sqrt{2}$．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，
且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设点P在第一象限，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，
∴|PF|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）$，
连结OM，OP，则|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-1}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}$，
∴|PF|+|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}=\sqrt{2}$，
同理，|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，
∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2$\sqrt{2}$，
∴△PFQ的周长为定值2$\sqrt{2}$．