Question

6．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：

空气质量指数（μg/m3）区间	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250）
空间质量等级	空气优	空气良	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	20	40	m	10	5

（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别属于[50，100）和[150，200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．

Answer 1

分析 （1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．
（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．从中任取2天，利用列举法能求出事件A”两天空气都为良“发生的概率．

解答 解：（1）∵0.004×50=$\frac{2}{n}$，解得n=100，
∵20+40+m+10+5=100，解得m=25，
$\frac{40}{100×50}$=0.008，$\frac{25}{100×50}=0.005$，$\frac{10}{100×50}=0.002$，$\frac{5}{100×50}=0.001$．
完成频率分布直方图如右图：
（2）由频率分布直方图知该组数据的平均数为：
$\overline{x}$=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+
175×0.002×50+225×0.001×50=95．
∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为0.008×50=0.4，
∴该组数据的中位数为：$50+\frac{0.5-0.2}{0.4}×50$=87.5．
（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，
将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．
从中任取2天的基本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，
基其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，
∴事件A”两天空气都为良“发生的概率P（A）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．