Question

9．已知函数f（x）=sin2xcos$\frac{π}{5}-cos2xsin\frac{π}{5}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质，求对称轴的方程．
（Ⅱ）当x∈$[0，\frac{π}{2}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin2xcos\frac{π}{5}-cos2xsin\frac{π}{5}=sin（2x-\frac{π}{5}）$，
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
因为y=sinx的对称轴方程为$x=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
令$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
得$x=\frac{7π}{20}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$．
f（x）的对称轴方程为$x=\frac{7π}{20}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$．
或者：$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}+2kπ$和$2x-\frac{π}{5}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$x=\frac{7π}{20}+kπ$和$x=-\frac{3π}{20}+kπ，k∈Z$．
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x∈[0，π]，
∴$2x-\frac{π}{5}∈[-\frac{π}{5}，\frac{4π}{5}]$，
∴当$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{7π}{20}$时，函数f（x）取得最大值．
∴f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．