Question

已知函数f（x）=cos（

π

6

-2x）+cos（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

3

）-sin（

π

3

-2x）．
（1）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）=1，a=1，试求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，结合角的范围，求出相位的范围，然后求函数f（x）的值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）=1，a=1，利用余弦定理以及基本不等式化简推出△ABC的面积S的最大值即可．

解答： 解：（1）由函数f（x）=cos（

π

6

-2x）+cos（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

3

）-sin（

π

3

-2x）
=2sin（2x+

π

3

），
因为[0，

π

2

]，所以2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，即f（x）的值域为[-

3

，2]．
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1⇒A=

π

4

，又a=1，
由余弦定理及均值不等式可得，b²+c²-2bccosA=a²≥2bc（1-cosA）
⇒bc≤

1

2(1- 2 2 )

=1+

2

2

所以S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•（1+

2

2

）•

2

2

=

2 +1

4

．
△ABC的面积S的最大值：

2 +1

4

．

点评：本题考查余弦定理的应用，三角函数的最值，考查计算能力．