Question

已知函数y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）求最小正周期；
（2）求函数的单调递增与递减区间；
（3）求函数的最大值、最小值，及函数取得最大、最小值时自变量x的集合；
（4）求函数的对称中心及对称轴；
（5）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用辅助角公式将函数进行化简，即可得到结论．

解答： 解：y=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
（1）则函数的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，递减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z；
（3）当sin（x+

π

6

）=1，即x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，x=2kπ+

π

3

，k∈Z，时函数取得最大值2，
当sin（x+

π

6

）=-1，即x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，x=2kπ-

2π

3

，k∈Z，时函数取得最小值-2，
则函数取得最大、最小值时自变量x的集合分别为{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}和{x|x=2kπ-

2π

3

，k∈Z}；
（4）由x+

π

6

=kπ，k∈Z，x=kπ-

π

6

，即函数的对称中心为（kπ-

π

6

，0），
由x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

3

，即函数的对称轴为x=kπ+

π

3

，k∈Z；
（5）函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象向左平移

π

6

个单位得到y=sin（x+

π

6

），
然后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2被得到y=2sin（x+

π

6

）．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数单调性，对称性的性质的求解和判断，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．