题目内容
已知点P（x0，y0）在直线x+y-2=0上，若圆O：x2+y2=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x0的取值范围为 ．
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆
分析：根据圆的切线的性质，可知当过P点作圆的切线，切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OP构成直角三角形，因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍，再用含x0的式子表示OP，即可求出x0的取值范围．
解答：
解：过P作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反过来，如果∠OPR≥30°，
则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°．
∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，
则∠OPR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OP|＞2时不成立，
∴|OP|≤2．
又∵|OP|2=x02+y02=x02+（x0-2）2=2x02-4x0+2
∴2x02-4x0+2≤2，
解得，0≤x02≤2．
∴x0的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．
根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反过来，如果∠OPR≥30°，
则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°．
∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，
则∠OPR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OP|＞2时不成立，
∴|OP|≤2．
又∵|OP|2=x02+y02=x02+（x0-2）2=2x02-4x0+2
∴2x02-4x0+2≤2，
解得，0≤x02≤2．
∴x0的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．
点评：本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．
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