Question

下列命题正确的有

 

．
①“一元二次方程x²+x+m=0”有实数解的一个充分不必要条件是m＜-

1

4

②命题“x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是假命题
③若不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，则不等式x²-bx-a＜0的解集（2，3）
④数列{a_n}满足：a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

若{a_n}是递增数列，则a∈[

9

4

，3）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①中由m＜-

1

4

推导出一元二次方程x²+x+m=0有实数解，但方程x²+x+m=0有实数解时，m＜-

1

4

不一定成立，由此判定命题是否正确；
②中写出命题的否命题，通过举反例说明它的否命题不正确即可；
③中由不等式ax²-bx-1≥0的解集求出a、b的值，从而求出不等式x²-bx-a＜0的解集；
④中由数列{a_n}是递增数列，得出不等式组，解出a的取值范围．

解答： 解：对于①，当m＜-

1

4

时，1²-4×1×m=1-4m＞2＞0，∴“一元二次方程x²+x+m=0”有实数解，充分性成立；
当一元二次方程x²+x+m=0有实数解时，1²-4×1×m=1-4m＞0，∴m＜

1

4

，∴m＜-

1

4

不一定成立，即必要性不成立；
∴命题①正确．
对于②，命题“x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是“若x+y＞0，则x＞0且y＞0”，
它是假命题，如x=1，y=0时命题不成立；
∴命题②正确．
对于③，当不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]时，由一元二次不等式与对应的方程的关系知：a=-6，b=5，
∴不等式x²-bx-a＜0即为x²-5x+6＜0，它的解集是（2，3）；
∴命题③正确．
对于④，∵数列{a_n}满足a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

，当{a_n}是递增数列时，

a＞1 3-a＞0 a2＞7(3-a)-3

解得a∈（2，3）；
∴命题④错误．
综上，以上正确的命题是①②③；
故答案为：①②③．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了充分与必要条件的判定，四种命题之间的关系，一元二次不等式与对应的方程之间的关系，数列的有关概念等问题，解题时应对每一个命题仔细分析，以便得出正确的选择．