Question

18．已知x²≤1，求函数f（x）=-x²+2ax+3的最值．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，判断区间[-1，1]与对称轴的位置关系，即可得到最值．

解答 解：由x²≤1，得-1≤x≤1．
函数f（x）=-x²+2ax+3的对称轴为x=a，
a≤-1时，函数在[-1，1]上单调递减，x=-1时，函数取得最大值2-2a，x=1时，函数取得最小值2+2a；
-1＜a＜0，x=a时，函数取得最大值a²+3，x=1时，函数取得最小值2+2a；
0≤a≤1，x=a时，函数取得最大值a²+3，x=-1时，函数取得最小值2-2a；
a＞1时，函数在[-1，1]上单调递增，x=-1时，函数取得最小值2-2a，x=1时，函数取得最大值2+2a．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．