Question

19．已知函数f（x）=2lnx+x²-a²x（x＞0，a∈R）．
（1）当a＞0时，若函数f（x）在[1，2]上单调递减，求a的最小值；
（2）当a=$\sqrt{5}$时，f（x）在区间（k-$\frac{1}{2}$，k）上为单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，可得$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在区间[1，2]上恒成立，分离参数求最大值，即可求a的最小值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间，得到关于k的不等式组，求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+x²-a²x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-a²，
∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在区间[1，2]上恒成立，
∴a²≥$\frac{2}{x}$+2x，
∵y=$\frac{2}{x}$+2x在区间[1，2]上单调递增，
∴y_max=5，∴a²≥5，
∵a＞0，∴a≥$\sqrt{5}$；
（2）∵a=$\sqrt{5}$时，f（x）=2lnx+x²-5x，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
若f（x）在区间（k-$\frac{1}{2}$，k）上为单调函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{k-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}}\\{k≤2}\end{array}\right.$，解得0≤k≤2．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．