Question

13．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述，其中错误的叙述的是（　　）

• A． AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$
• B． 三棱锥B-ACE的体积是$\frac{1}{6}{a^3}$
• C． 直线BA与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$
• D． 平面EAB⊥平面ADE

Answer 1

分析 在A 中，由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；
在B中，V_B-ACE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AD；
在C中，确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，即可求解；
在D中，证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE．

解答 解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=$\sqrt{2}$a，
在A中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，
∵AB=$\sqrt{3}$a，BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=$\sqrt{2}$，故A正确；
在B中，V_B-ACE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×a×a×a=$\frac{1}{6}$a³，故B正确；
在C中，∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=$\sqrt{3}$a，
∴sin∠BEA=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故C错误；
在D中，∵AD⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键，是中档题．