Question

已知定义在R上的函数f（x）对所有的实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时，f（x）＜0成立，f（2）=-4．
①求f（0），f（1），f（3）的值．
②证明函数f（x）在R上单调递m=n=0减．
③解不等式f（x²）+f（2x）＜-6．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法分别求出三个函数值；
（2）结合函数的单调性以及已知条件，利用构造的方法证明即可；
（3）结合单调性，构造出关于x的不等式（组）求解即可．

解答： 解：因为函数f（x）对所有的实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）．
①令m=n=0得f（0）=0．
令m=n=1得2f（1）=f（2）=-4，所以f（1）=-2
∴f（3）=f（2）+f（1）=-6．
②由已知得f（m+n）-f（m）=f（n）
令x₁＞x₂，且x₁，x₂∈R
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
因x₁＞x₂，∴f（x₁-x₂）＜0即 f（x₁）＜f（x₂）
函数f（x）在R单调递减．
③因为f（3）=-6，所以不等式可化为，
∴f（x²+2x）＜f（3），
因为f（x）为为R上的减函数，
所以x²+2x＞3，
解得x＞1或x＜-3．

点评：本题考查了利用函数的单调性的定义解决函数的单调性问题，利用赋值法求函数值的方法．属于中档题，要注意将函数与方程、不等式有机结合起来．