Question

已知

a

=（1，2），

b

=（2，1）．
（1）求向量

a

在向量

b

方向上的投影．
（2）若（m

a

+n

b

）⊥（

a

-

b

）（m，n∈R），求m²+n²+2m的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）求出向量a，b的数量积和向量b的模，再由投影定义，即可得到所求；
（2）运用向量垂直的条件及向量的数量积和模的公式，化简得到m=n，再由二次函数的最值，即可得到．

解答： 解：（1）设

a

与向量

b

的夹角为θ，
由题意知向量

a

在向量

b

方向上的投影为
|

a

|cosθ=

a • b

| b |

=

1×2+2×1

5

=

4 5

5

；
（2）∵（m

a

+n

b

）⊥（

a

-

b

），
（m

a

+n

b

）•（

a

-

b

）=0，
即5m+4n-4m-5n=0，∴m=n．
∴m²+n²+2m=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

≥-

1

2

，
当且仅当m=n=-

1

2

时取等号，
∴m²+n²+2m的最小值为-

1

2

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的模及投影的定义，考查向量垂直的条件，同时考查二次函数的最值，属于中档题．