Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）当m=

1

4

时，轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由两向量的数量积为0列式求得轨迹E的方程，然后根据m的范围说明曲线的形状；
（2）把m=

1

4

代入轨迹方程，联立直线方程和椭圆方程，求得两交点的坐标，由两点间的距离公式得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（mx，y+1），

b

=（x，y-1），且

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=mx2+y2-1=0，即mx²+y²=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示的是圆x²+y²=1；
当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线；
（2）当m=

1

4

时，椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=x-1 x2 4 +y2=1

，得5x²-8x=0，
解得：x1=0，x2=

8

5

．
∴y1=-1，y2=

3

5

．
∴A（0，-1），B（

8

5

，

3

5

），
则|AB|=

( 8 5 -0)2+( 3 5 +1)2

=

8

5

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中档题．