Question

已知函数g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R．
（1）求函数g（x）的极值点；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，即可求函数g（x）的极值点；
（2）求函数f（x）-g（x）的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可求m的取值范围；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），将不等式恒成立转化为求函数最值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵g′（x）=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

．
∴由g′（x）=0得x=2，
当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，
当x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，
即x=2是函数g（x）的极小值点．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴[f（x）-g（x）]′=

mx2-2x+m

x2

，
∵f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
∵mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1，故m≥1．
∵mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，所以在[1，e]上不存在一个x₀，
使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，F′（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

，
故m的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题主要考查函数单调性，极值，与导数之间的关系，考查学生的计算能力．