Question

10．设集合M={x||x|＜1}，在集合M中定义一种运算“*”，使得$a*b=\frac{a+b}{1+ab}$．
（Ⅰ）证明：（a*b）*c=a*（b*c）；
（Ⅱ）证明：若a∈M，b∈M，则a*b∈M．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用新定义推导出（a*b）*c=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$，a*（b*c）=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$，由此能证明（a*b）*c=a*（b*c）．
（Ⅱ）要证a*b∈M，只需证：$|{\frac{a+b}{1+ab}}|＜1$，即证$（{\frac{a+b}{1+ab}}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}＜1$，由此能证明若a∈M，b∈M，则a*b∈M．

解答 证明：（Ⅰ）∵集合M={x||x|＜1}，在集合M中定义一种运算“*”，使得$a*b=\frac{a+b}{1+ab}$，
∴$（{a*b}）*c=（{\frac{a+b}{1+ab}}）*c=\frac{{c+\frac{a+b}{1+ab}}}{{1+c\frac{a+b}{1+ab}}}=\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$
a*（b*c）=a*（$\frac{b+c}{1+bc}$）=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a\frac{b+c}{a+cb}}$=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$，
∴（a*b）*c=a*（b*c）．…（6分）
（Ⅱ）由已知得：|a|＜1，|b|＜1，
要证a*b∈M，只需证：$|{\frac{a+b}{1+ab}}|＜1$，即证$（{\frac{a+b}{1+ab}}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}＜1$，
即：$（{ab}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}+1＞0$，
而$（{ab}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}+1=（{a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-1}）（{b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-1}），|a|＜1，|b|＜1$，
有（a²-1）（b²-1）＞0，
∴若a∈M，b∈M，则a*b∈M．…（12分）

点评 本题考查等式的证明和集合中元素的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．