Question

11．如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4$\sqrt{3}$，∠EAC=120°，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）推导出∠FBC=∠FCB，∠DAC=∠FBC，由此能证明AD平分∠EAC．
（2）求出∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$，AC=2$\sqrt{3}$，由此能求出BC的值．

解答 证明：（1）∵FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵四边形AFBC内接于圆O，
∴∠DAC=∠FBC，
又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
解：（2）∵AB是△ABC外接圆直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=2$\sqrt{3}tan60°$=6．

点评 本题考查角平分线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．